Relation d'équivalence

Propriété

Soit \(a , b \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}^\ast\) . On a les trois propriétés suivantes.

• Réflexivité : \(a \equiv a \ [n]\) .
• Symétrie : si \(a \equiv b \ [n]\) , alors \(b \equiv a \ [n]\) .
• Transitivité : si \(a \equiv b \ [n]\) et \(b \equiv c \ [n]\) , alors \(a \equiv c \ [n]\) .

On dit que la relation de congruence modulo \(n\) est, comme la relation d'égalité, une relation d'équivalence. La propriété de symétrie permet de parler d'entiers \(a\) et \(b\)  congrus modulo \(n\) .

Démonstration

• \(a-a=0\) est un multiple de \(n\) ( \(0=n \times 0\) ), donc \(a \equiv a \ [n]\) .
• Si \(a \equiv b \ [n]\) , alors \(a-b\) est un multiple de \(n\) , donc il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(a-b=kn\) . On a donc \(b-a=-kn=k'n\) avec \(k'=-k \in \mathbb{Z}\) . Ainsi, \(b-a\) est un multiple de \(n\) et donc \(b \equiv a \ [n]\) .
• Si \(a \equiv b \ [n]\) et \(b \equiv c \ [n]\) , alors il existe \(k , k' \in \mathbb{Z}\) tels que \(a-b=kn\) et \(b-c=k'n\) . On a alors :   \(a-c=a-b+b-c=kn+k'n=(k+k')n=k''n\)  avec \(k''=k+k' \in \mathbb{Z}\) . Ainsi, \(a-c\) est est un multiple de \(n\) et donc \(a \equiv c \ [n]\) .

Exemple

Grâce à la transitivité, on peut écrire des congruences en chaîne.
Par exemple : \(23 \equiv 44 \equiv 30 \equiv 16 \equiv 9 \equiv -12 \equiv 2 \equiv -5 \ [7]\) .